POSCOMP 2019: Questão 08 Resolvida (Geometria Analítica)

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Questão

Encontre as coordenadas retangulares do ponto (P), cujas coordenadas polares são $(3, 120^{\circ}, 120^{\circ}, 135^{\circ})$.

$$\begin{align*}&x=r*\cos\alpha\\&y=r*\cos\beta\\&z=r*\cos\gamma\end{align*}$$

  • (A) $P\left(\cfrac{-3}{2},\cfrac{-3}{2},\cfrac{-3\sqrt{2}}{2}\right)$
  • (B) $P\left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
  • (C) $P\left(\cfrac{-1}{2},\cfrac{-1}{2},\sqrt{2}\right)$
  • (D) $P\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{3}{2},\cfrac{1}{2}\right)$
  • (E) $P\left(\cfrac{-1}{2},\cfrac{-3}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Resolução

Essa é uma questão bem simples, basta substituir os valores fornecidos de $r$, $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ nas fórmulas das coordenadas de $x$, $y$ e $z$ fornecidas no enunciado da questão.

Em suma, $r=3$, $\alpha=120^{\circ}$, $\beta=120^{\circ}$ e $\gamma=135^{\circ}$ e consequentemente:

$$\begin{align*}x&=3*\cos(120^{\circ})=-\frac{3}{2}\\y&=3*\cos(120^{\circ})=-\frac{3}{2}\\z&=3*\cos(135^{\circ})=-\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{align*}$$

Ou seja, o ponto $P$ é dado por

$$P\left(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$$

Portanto, a alternativa correta é a A.

Observação: a maior dificuldade nesta questão provavelmente é calcular o cosseno dos ângulos de $120^{\circ}$ e $135^{\circ}$. Para isso, podemos reduzir o cosseno para o primeiro quadrante através da fórmula

$$\cos(\pi-x)=-\cos(x).$$

Lembrando que $\pi=180^{\circ}$. Aplicando essa fórmula nos ângulos em questão, temos:

$$\begin{align*}\cos(135^{\circ})&=\cos(180^{\circ}-45^{\circ})\\&=-\cos(45^{\circ})\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$$

$$\begin{align*}\cos(120^{\circ})&=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})\\&=-\cos(60^{\circ})\\&=-\frac{1}{2}\end{align*}$$

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