POSCOMP 2019: Questão 07 Resolvida (Álgebra Linear)

Questão

Determine a matriz inversa de $A=\begin{pmatrix}1 &2 &2\\2 & 1 &2\\2 &2 &1\end{pmatrix}$

• (A) $A^{-1}=\cfrac{1}{5}\begin{pmatrix}1 &7 &-1\\7 & 1 &1\\1 &3 &1\end{pmatrix}$
• (B) $A^{-1}=\cfrac{1}{5}\begin{pmatrix}1 &0 &-2\\5 & 1 &0\\0 &1 &1\end{pmatrix}$
• (C) $A^{-1}=\cfrac{5}{1}\begin{pmatrix}0 &-1 &1\\-7 & 3 &4\\7 &1 &-1\end{pmatrix}$
• (D) $A^{-1}=\cfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 &2 &2\\2 & -3 &2\\2 &2 &-3\end{pmatrix}$
• (E) $A^{-1}=\cfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1 &3 &-3\\5 & 3 &1\\1 &3 &-3\end{pmatrix}$

Resolução

Para encontrar a matriz inversa, podemos utilizar um método similar à eliminação de Gauss, que consiste na utilização de operações elementares entre linhas [1].

Em primeiro lugar, formamos a matriz aumentada $A|I$, onde $I$ é a matriz identidade:

$$A|I=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Através das operações elementares entre as linhas de $A|I$, vamos transformar $A$ numa matriz identidade $I$ e, ao mesmo tempo, isso irá transformar a matriz $I$ em $A^{-1}$.

Vamos obter zeros na primeira coluna abaixo da diagonal somando à segunda e à terceira linha o produto da primeira linha por $-2$.

$$\begin{gather}\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\2+(-2) & 1+(-4) & 2+(-4) & 0+(-2) & 1+0 & 0+0\\2+(-2) & 2+(-4) & 1+(-4) & 0+(-2) & 0+0& 1+0\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & -2 & -2 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & -2 & 0 & 1\end{array}\right)\end{gather}$$

Somamos à terceira linha o produto da segunda linha por $-2/3$ e, dessa forma, obtemos zero na segunda coluna abaixo da diagonal.

$$\begin{gather}\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & -2 & -2 & 1 & 0\\0+0 & -2+2 & -3+\frac{4}{3} & -2+\frac{4}{3} & 0+\left(-\frac{2}{3}\right) & 1+0\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & -2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3} & 1\end{array}\right)\end{gather}$$

Multiplicamos a terceira linha por $-3/5$ para obter $1$ na terceira coluna na posição diagonal.

$$\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & -2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)$$

Somamos à primeira linha o produto da terceira linha por $-2$ e somamos à segunda linha o produto da terceira por $2$ para obter zeros na terceira coluna na posição acima da diagonal.

$$\begin{gather}\left(\begin{array}{ccc:ccc}1+0 & 2+0 & 2+(-2) & 1+\left(-\frac{4}{5}\right) & 0+\left(-\frac{4}{5}\right) & 0+\frac{6}{5}\\0+2 & -3+0 & -2+2 & -2+\frac{4}{5}& 1+\frac{4}{5} & 0+\left(-\frac{6}{5}\right)\\0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{6}{5}\\0 & -3 & 0 & -\frac{6}{5} & \frac{9}{5} & -\frac{6}{5}\\0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)\end{gather}$$

Multiplicamos a segunda linha por $-1/3$ para obter $1$ na segunda linha na posição diagonal.

$$\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 2 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{6}{5}\\0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 &\frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)$$

Somamos à primeira linha o produto da segunda linha por $-2$ para obter zero na segunda coluna acima da diagonal.

$$\begin{gather}\left(\begin{array}{ccc:ccc}1+0 & 2+(-2) & 0+0 & \frac{1}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right) & -\frac{4}{5} +\frac{6}{5}& \frac{6}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)\\0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 0 & 0 & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & \frac{2}{5}\\0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right)\end{gather}$$

Com isso, transformamos a matriz $A$ (à esquerda) em $I$. Como consequência, a matriz à direita é a inversa de $A$.

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & \frac{2}{5}\\\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\\\frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5}\end{pmatrix}$$

Simplificando, temos

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 & 2 & 2\\2 & -3 & 2\\2 & 2 & -3\end{pmatrix}$$

Ou seja, a alternativa correta é a D.

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Referências

[1] DIPRIMA, R. C.; BOYCE, W. E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.