POSCOMP 2019: Questão 18 Resolvida (Estatística)

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Questão

Encontre a média ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) da distribuição:

$X_i$ $1$ $3$ $5$ $7$
$P_i$ $0{,}3$ $0{,}1$ $0{,}4$ $0{,}2$

$$\begin{gather}\mu=E(X)=\sum x_i p_i\\E(X^2)=\sum x_i^2 p_i\\\sigma^2=E(X^2)-\mu^2\end{gather}$$

  • (A) $\mu=4{,}0;\sigma=2{,}24$
  • (B) $\mu=4{,}0;\sigma=5{,}00$
  • (C) $\mu=5{,}0;\sigma=25{,}0$
  • (D) $\mu=3{,}0;\sigma=4{,}0$
  • (E) $\mu=4{,}0;\sigma=21{,}0$

Resolução

Inicialmente, calculamos a média $\mu$, que é mais fácil

$$\begin{align*}\mu&= x_1p_1+ x_2p_2+ x_3p_3+ x_4p_4\\&= 1\times 0{,}3+3\times 0{,}1+5\times 0{,}4+7\times 0{,}2\\&= 0{,}3+0{,}3+2{,}0+1{,}4\\&= 4{,}0\end{align*}$$

Logo, a média é $\mu=4{,}0$. Para calcular o desvio padrão $\sigma$, precisamos calcular $E(X^2)$.

$$\begin{align*}E(X^2)&= x_1^2p_1+ x_2^2p_2+ x_3^2p_3+ x_4^2p_4\\&= 1^2\times 0{,}3+3^2\times 0{,}1+5^2\times 0{,}4+7^2\times 0{,}2\\&= 1\times 0{,}3+9\times 0{,}1+25\times 0{,}4+49\times 0{,}2\\&= 0{,}3+0{,}9+10{,}0+9{,}8\\&=21{,}0\end{align*}$$

Se $\sigma^2=E(X^2)-\mu^2$, então $\sigma=\sqrt{E(X^2)-\mu^2}$, portanto

$$\begin{align*}\sigma&=\sqrt{E(X^2)-\mu^2}\\&=\sqrt{21{,}0-(4{,}0)^2}\\&=\sqrt{21{,}0-16{,}0}\\&=\sqrt{5{,}0}\\&= 2{,}236067\ldots\end{align*}$$

Arredondando o resultado anterior para duas casas, obtemos $\sigma=2{,}24$. Portanto, alternativa correta é a A.

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