POSCOMP 2019: Questão 14 Resolvida (Álgebra de Boole)

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Questão

Resolva a identidade $\overline{\overline{C}\cdot\left(\overline{D}+\overline{E}\right)}$, aplicando, se necessário, as leis de álgebra de Boole.

  • (A) $\overline{C}+(D\cdot E)$
  • (B) $\overline{C}+(C+E)$
  • (C) $C+(\overline{C}\cdot\overline{E})$
  • (D) $\overline{C}\cdot (D\cdot E)$
  • (E) $(C+D)\cdot (C+E)$

Resolução

Primeiramente, vamos aplicar a propriedade distributiva da álgebra de Boole:

$$\begin{gather}\overline{\overline{C}\cdot\left(\overline{D}+\overline{E}\right)}\\\overline{\left(\overline{C}\cdot \overline{D}+\overline{C}\cdot \overline{E}\right)}\end{gather}$$

Agora, utilizamos o teorema de De Morgan:

$$\begin{gather}\overline{\left(\overline{C}\cdot \overline{D}+\overline{C}\cdot \overline{E}\right)}\\\left(\overline{\overline{C}\cdot \overline{D}}\right)\cdot\left(\overline{\overline{C}\cdot\overline{E}}\right)\end{gather}$$

Por fim, aplicamos mais uma vez o teorema de De Morgan

$$\begin{gather}\left(C+D\right)\cdot\left(C+E\right)\end{gather}$$

Ou seja, a alternativa correta é a E.

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