POSCOMP 2019: Questão 10 Resolvida (Cálculo Diferencial e Integral)

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Questão

A função $g(x)=x^3-6x^2+9x-2$ tem um máximo local estrito no ponto:

  • (A) $A(0,-2)$
  • (B) $A(3,-2)$
  • (C) $A(1,2)$
  • (D) $A(2,0)$
  • (E) $A(4,2)$

Resolução

Para determinar os pontos extremos de $g(x)$, vamos utilizar o critério da derivada primeira [1].

Temos que $g'(x)=3x^2-12x+9$. Igualando a derivada primeira a zero, obtemos a seguinte equação do segundo grau:

$$3x^2-12x+9=0$$

O discriminante da equação é $\Delta=(-12)^2-4.3.9=36$, consequentemente

$$\begin{align*}x&=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\&=\frac{12\pm\sqrt{36}}{2.3}\\&=\frac{12\pm 6}{6}\end{align*}$$

A primeira raiz da equação é

$$x_1=\frac{12+6}{6}=3$$

Já a segunda raiz é dada por

$$x_2=\frac{12-6}{6}=1$$

Logo, a função $g(x)$ possui dois pontos extremos: $x_1=3$ e $x_2=1$.

Agora, utilizaremos o critério da derivada segunda [1] para determinar qual desses pontos extremos é um ponto de máximo.

A derivada segunda de $g(x)$ é dada por $g''(x)=6x-12$. Para o ponto extremo ser um máximo relativo, a derivada segunda da função nesse ponto deve ser negativa [1].

Substituindo, $x_1$ e $x_2$ em $g''(x)$, temos

$$\begin{align*}g''(x_1)&=g’’(3)=6.3-12=6>0\\g''(x_2)&=g’’(1)=6.1-12=-6<0\end{align*}$$

Como $g''(x_2)<0$, então o ponto extremo $x_2=1$ é um máximo. Por fim, basta substituir $x_2$ em $g(x)$ para obter a ordenada do ponto:

$$g(x_2)=g(1)=1-6+9-2=2$$

Ou seja, o ponto de máximo é $(1,2)$, portanto a alternativa correta é a C.

Gráfico com ponto de máximo destacado
Gráfico da função g(x) com o ponto de máximo (1,2) destacado.

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

Referências

[1] FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.

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