![Logotipo do POSCOMP 2019](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHtNBlEZ87mh_QisFMC_QGmFO0kg_KmHKrhndfxhPkgsiHk8duv9coO2r3UM4oFHAOMuJUIv4CKdhqw8CldWvTxnwwdG16HiKw_7h_YnmuME5LzSo852K05ExrFPqSKoWRnqdKTFapTlhP/s1600/poscomp-2019-questao-04-resolvida.png)
Questão
Encontre as coordenadas do centro (C) da circunferência de equação $t: x^2+ y^2-3x + 5y-14 = 0$.
- (A) $C\left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)$
- (B) $C\left(\cfrac{-1}{2},\cfrac{3}{2}\right)$
- (C) $C\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{1}{2}\right)$
- (D) $C\left(\cfrac{5}{2},\cfrac{5}{2}\right)$
- (E) $C\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{-5}{2}\right)$
Resolução
A equação de uma circunferência com centro $C(a,b)$ e raio $r$ é dada por [1]
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$
Ao expandir a equação anterior, obtemos a equação geral da circunferência
$$x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$$
Igualando os coeficientes da equação geral da circunferência com os coeficientes da equação $t$, temos
$$\begin{align*}-2a=-3&\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\\-2b=5&\Leftrightarrow a=-\frac{5}{2}\end{align*}$$
Logo, o centro da circunferência $t$ é $C\left(\cfrac{3}{2},-\cfrac{5}{2}\right)$. Ou seja, a alternativa E é a correta.
![Circunferência no plano cartesiano](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwlCUrO7MztmczVu-iq2LqZkRKu-gkjlK2GVwISHPNQLqW-8RKYuPs663iVyWDNX5P-oEhytZUKkiTAEpRJ0xoUQYDIbWSsN5-vhyphenhyphenineaw7mAkPWO4ClyWj9s73Ah4JKJjgxVQPFz-W5pq/s1600/poscomp-2019-questao-04-circunferencia.png)
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Referências
- [1] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.
Solução passo a passo dessa questão no Youtube: POSCOMP 2019: Questão 04
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