POSCOMP 2019: Questão 03 Resolvida (Geometria Analítica)

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Questão

Encontre a equação da reta $s$, que passa pelo ponto $A(3, 4)$ e que é perpendicular à reta $r: x + y - 5 = 0$

  • (A) $r: 5x - 2y + 2 = 0$
  • (B) $r: x + y + 4 = 0$
  • (C) $r: 2x + y = 0$
  • (D) $r: x - y + 1 = 0$
  • (E) $r: x - 3y + 2 = 0$

Observação: perceba que há um erro nas alternativas, onde, ao invés de representar a reta perpendicular por $s$, conforme o enunciado, está representando-a por $r$. Todavia, o erro é irrelevante para resolver a questão.

Resolução

Inicialmente, convertemos a equação geral da reta $r$ na equação reduzida da reta, isto é, colocando a equação na forma $y=mx+n$, onde $m$ é o coeficiente angular e $n$ é o coeficiente linear [1]:

$$\begin{align*}&x + y - 5 = 0\\&y=-x+5.\end{align*}$$

Os coeficientes são $m=-1$ e $n=5$.

Denominaremos a equação reduzida de reta $s$ perpendicular à $r$ a seguinte forma:

$$s: y = m_px+n_p$$

Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é igual a $-1$. Ou seja, os coeficientes angulares das duas retas deverão satisfazer a seguinte igualdade

$$\begin{align*}m. m_p=-1\\\end{align*}$$

Substituindo $m$, temos

$$\begin{align*}(-1). m_p&=-1\\m_p&=\frac{-1}{-1}\\m_p&=1\end{align*}$$

Agora, substituindo $m_p=1$ em $s$, temos

$$s:y=x+n_p$$

Para encontrar o coeficiente $n_p$, substituímos os valores de $x$ e $y$ do ponto $A(3,4)$ na equação anterior:

$$\begin{align*}&y=x+n_p\\&4=3+n_p\\&4-3=n_p\\&1=n_p\\&n_p=1\end{align*}$$

Substituindo $n_p$, temos

$$s:y=x+1$$

Agora, converte-se a equação para a forma $ax+by+c=0$:

$$s:-x+y-1=0$$

Por último, multiplicamos os dois membros da equação por $-1$, obtendo uma equação equivalente (esse passo serve apenas para adequar os coeficientes da equação à alternativa correta)

$$s:x-y+1=0$$

Ou seja, a equação da reta perpendicular à reta $r$ é $s:x-y+1=0$. Portanto, a alternativa correta é a D.

Mais questões

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

Referências

  • [1] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.

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