POSCOMP 2019: Questão 05 Resolvida (Cálculo Diferencial e Integral)

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Questão

Calcule o $\lim_{x\rightarrow 2}\cfrac{x^3-8}{6x^2-3x^3}$

  • (A) -2
  • (B) ∞
  • (C) 0
  • (D) 1
  • (E) -1

Resolução

Aqui, temos um caso típico de indeterminação do tipo $0/0$. A forma mais simples de se resolver é utilizando a Regra de L'Hospital [1]. Derivando a função no numerador e a função no denominador, obtemos um limite equivalente, porém sem a indeterminação.

$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{6x^2-3x^3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{3x^2}{12x-9x^2}\\&= \frac{3.2^2}{12.2-9.2^2}\\&= \frac{3.4}{24-9.4}\\&= \frac{12}{24-36}\\&=\frac{12}{-12}\\&= -1\end{align*}$$

Ou seja, a alternativa correta é a E.

Existe também um segundo método para resolver. Como a função na qual queremos calcular o limite é o quociente entre dois polinômios, então a indeterminação $0/0$ ao calcular o limite com $x\rightarrow 2$ significa que $x=2$ é uma raiz desses polinômios. Isso também significa que os polinômios são múltiplos de $x-2$.

Dessa forma, podemos eliminar a indeterminação fatorando os polinômios com o objetivo de eliminar esse fator $x-2$. O polinômio no denominador é o mais fácil de fatorar:

$$6x^2-3x^3=-3x^2(x-2)$$

A fatoração do polinômio no numerador pode ser feita com o auxílio da divisão polinomial, conforme a imagem.

Divisão polinomial

Com isso, temos:

$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{6x^2-3x^3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x^2+2x+4)(x-2)}{-3x^2(x-2) }\\&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x^2+2x+4}{-3x^2}\\&= \frac{2^2+2.2+4}{-3.2^2}\\&= \frac{4+4+4}{-3.4}\\&= \frac{12}{-12}\\&= -1\end{align*}$$

Novamente, concluímos que a alternativa E é a correta.

Gráfico do limite
Gráfico representando a função do enunciado. O ponto destacado corresponde ao limite calculado.

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

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