![Logotipo do POSCOMP 2019](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEju5VE11UX-hCYtIDKd4Qs5MwL4VJf-KO-KhVw-3RGTNDadYTXnodzT0liKoc73Uo-A-QAGIFpAbI-BdXfc8cS-V5w-895tcP9kDSOOcG2-S7KBAb_J1MQqvgfJvpGHyVjCsLQsvNUMWKqg/s1600/poscomp-2019-questao-05-resolvida.png)
Questão
Calcule o $\lim_{x\rightarrow 2}\cfrac{x^3-8}{6x^2-3x^3}$
- (A) -2
- (B) ∞
- (C) 0
- (D) 1
- (E) -1
Resolução
Aqui, temos um caso típico de indeterminação do tipo $0/0$. A forma mais simples de se resolver é utilizando a Regra de L'Hospital [1]. Derivando a função no numerador e a função no denominador, obtemos um limite equivalente, porém sem a indeterminação.
$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{6x^2-3x^3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{3x^2}{12x-9x^2}\\&= \frac{3.2^2}{12.2-9.2^2}\\&= \frac{3.4}{24-9.4}\\&= \frac{12}{24-36}\\&=\frac{12}{-12}\\&= -1\end{align*}$$
Ou seja, a alternativa correta é a E.
Existe também um segundo método para resolver. Como a função na qual queremos calcular o limite é o quociente entre dois polinômios, então a indeterminação $0/0$ ao calcular o limite com $x\rightarrow 2$ significa que $x=2$ é uma raiz desses polinômios. Isso também significa que os polinômios são múltiplos de $x-2$.
Dessa forma, podemos eliminar a indeterminação fatorando os polinômios com o objetivo de eliminar esse fator $x-2$. O polinômio no denominador é o mais fácil de fatorar:
$$6x^2-3x^3=-3x^2(x-2)$$
A fatoração do polinômio no numerador pode ser feita com o auxílio da divisão polinomial, conforme a imagem.
![Divisão polinomial](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnGYuyHmAdIlUyflnfR2-QRHQ7wrVv1zGJ4Y7WtgeAIG2pLD1hbdUltAKY25f9WHHFL8jRqK1ClM6vvNJI2oVStt5UOY-it5UFqf_tTCLQ4c8PIQYm_FfKjNlLlNfa8wILvm__iL7WR8Y3/s1600/poscomp-2019-questao-05-divisao-polinomial.png)
Com isso, temos:
$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{6x^2-3x^3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x^2+2x+4)(x-2)}{-3x^2(x-2) }\\&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x^2+2x+4}{-3x^2}\\&= \frac{2^2+2.2+4}{-3.2^2}\\&= \frac{4+4+4}{-3.4}\\&= \frac{12}{-12}\\&= -1\end{align*}$$
Novamente, concluímos que a alternativa E é a correta.
![Gráfico do limite](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1l2QSPHoCWuVkzbXFmRDYSh8ABRvSfsNhU7L8xkV76hdEjCz-uFa0HNv6aVxnuosxYGcxomwm9cO7CwdgOcWdO5ni44wTOpZflBWMw14k-s6PTTzoFw0SvNuByPmusOii6xWdFBm7TKtZ/s1600/poscomp-2019-questao-05-grafico.png)
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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.
Referências
- [1] FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.
Solução passo a passo dessa questão no Youtube: POSCOMP 2019: Questão 05
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