POSCOMP 2019: Questão 19 Resolvida (Análise combinatória)

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Questão

De quantas maneiras diferentes é possível formar uma equipe de ginástica olímpica com precisamente 3 ginastas mulheres e 4 ginastas homens, escolhidos a partir de uma delegação com 15 pessoas, das quais 8 são homens e 7 são mulheres?

  • (A) 91.
  • (B) 105.
  • (C) 1.960.
  • (D) 2.450.
  • (E) 5.460.

Resolução

A solução do problema é feita utilizando combinações simples. Serão dois cálculos, um para a parte masculina da equipe e outro para a parte feminina.

Se há sete mulheres na delegação e somente três podem fazer parte da equipe, então calculamos o número de combinações possíveis de sete mulheres agrupadas de três em três.

$$\begin{align*}C_{n,p}&=\frac{n!}{p!(n-p)!}\\C_{7,3}&=\frac{7!}{3!(7-3)!}\\&=\frac{7!}{3!\times 4!}\\&=35\end{align*}$$

O cálculo para os homens é o mesmo. Se temos oito homens e apenas quatro podem fazer parte da equipe, então calculamos o número de combinações possíveis de oito homens agrupados de quatro em quatro.

$$\begin{align*}C_{n,p}&=\frac{n!}{p!(n-p)!}\\C_{8,4}&=\frac{8!}{4!(8-4)!}\\&=\frac{8!}{4!\times 4!}\\&=70\end{align*}$$

Por fim, multiplicamos os resultados para obter o número de combinações possíveis da equipe de ginástica completa: $35\times 70=2{.}450$.

Ou seja, podemos formar a equipe de 2450 formas distintas, portanto a alternativa correta é a D.

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