Questões Resolvidas do POSCOMP 2002 de Matemática

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Nesta postagem, você encontrará a resolução de 16 questões de matemática do POSCOMP 2002, além do gabarito das outras quatro questões que não foram resolvidas.

Questões Resolvidas do POSCOMP 2002 de Matemática

Índice

Para mais questões resolvidas, acesse a página POSCOMP.

Questão 01

Pode-se afirmar que gráfico da função $y=2+\cfrac{1}{x-1}$ é o gráfico da função $y=\cfrac{1}{x}$

  • (A) transladado uma unidade para a direita e duas unidades para cima;
  • (B) transladado uma unidade para a direita e duas unidades para baixo;
  • (C) transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima;
  • (D) transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para baixo;
  • (E) nenhuma das anteriores.

Resolução

É possível transformar a função $f(x)=\cfrac{1}{x}$ em $g(x)=2+\cfrac{1}{x-1}$ somando 2 à $f(x)$ e subtraindo 1 de $x$.

Ao somar o valor 2, a função é deslocada duas unidades para cima.

Função deslocada duas unidades para cima.
Função deslocada duas unidades para cima.

Subtrair 1 de $x$ é o mesmo que realizar a transformação $x=x'-1$. Isolando a coordenada $x'$, temos

$$x'=x+1$$

Isso significa que $f(x)$ foi deslocada para direita

Função deslocada duas unidades para cima e uma para a direita.
Função deslocada duas unidades para cima e uma para a direita.

Logo, a opção correta é a A.

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Questão 02

A derivada da função $f(x)=x^x$ é igual a

  • (A) $xx^{x-1}$
  • (B) $x^x$
  • (C) $x^x\ln x$
  • (D) $x^x(\ln x + 1)$
  • (E) $x^x(\ln x + x)$

Resolução

Em síntese, a questão deseja $\cfrac{df}{dx}$. Inicialmente, vamos calcular o logaritmo natural de $f(x)$

$$\begin{align*}\ln f(x) = \ln x^x\\\ln f(x) = x\ln x\end{align*}$$

Agora, vamos derivar ambos os membros da expressão anterior

$$\begin{align*}\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{d}{dx}(x\ln x)\\\frac{1}{f}\frac{df}{dx} = \left(x\frac{1}{x}+\ln x\right)\\\frac{df}{dx}=\left(1+\ln x\right)f\end{align*}$$

Como $f(x)=x^x$, então vamos substituir o $f$ no lado direito da equação

$$\frac{df}{dx} = x^x\left(1+\ln x\right)$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

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Questão 03

Seja $n$ um número inteiro positivo. Considere a função $f$ definida recursivamente por

$$f(n)=\begin{cases}0&\mbox{se } n=1\\f\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+1&\mbox{se }n > 1\end{cases}$$

onde $\left\lfloor\cfrac{n}{2}\right\rfloor$ é o maior inteiro menor ou igual a $k$. O valor de $f(25)$ é igual a

  • (A) 5
  • (B) 4
  • (C) 6
  • (D) 3
  • (E) 2

Resolução

Indo direto ao ponto, temos

$$\begin{align*}f(25)&= f\left(\left\lfloor\frac{25}{2}\right\rfloor\right)+1\\&=f(12)+1\\&=f\left(\left\lfloor\frac{12}{2}\right\rfloor\right)+1+1\\&=f(6)+1+1\\&=f\left(\left\lfloor\frac{6}{2}\right\rfloor\right)+1+1+1\\&= f(3)+1+1+1\\&=f\left(\left\lfloor\frac{3}{2}\right\rfloor\right)+1+1+1+1\\&= f(1)+1+1+1+1\\&= 0+1+1+1+1\\&=4\end{align*}$$

Ou seja, a resposta certa é B.

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Questão 04

Para cada $n\in\mathbb{N}$ seja $D_n=(0,1/n)$, onde $(0,1/n)$ representa o intervalo aberto de extremos $0$ e $1/n$. O conjunto diferença $D_3-D_{20}$ é igual a:

  • (A) $D_3$
  • (B) $D_{20}$
  • (C) $(1/20,1/3)$
  • (D) $[1/20,1/3)$
  • (E) $D_{20}\cup D_3$

Resolução

Os conjuntos $D_3$ e $D_{20}$ são

$$\begin{align*}D_3=(0,1/3)=(0,0.333\ldots)\\D_{20}=(0,1/20)=(0,0.05)\end{align*}$$

Ou ainda

$$\begin{align*}D_3=\{x\,|\,0<x<1/3\}\\D_{20}=\{x\,|\,0<x<1/20\}\end{align*}$$

A diferença $D_3-D_{20}$ contém todos os elementos de $D_3$ que não são elementos de $D_{20}$. Ou seja, os elementos do conjunto $D_3-D_{20}$ são todos os elementos $x\in D_3$ tais que $x\geq 1/20$, logo

$$\begin{align*}D_3-D_{20}&=\{x\,|\,1/20\leq x < 1/3\}\\&=[1/20, 1/3)\end{align*}$$

Portanto, a alternativa D é a correta.

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Questão 05

Todos os convidados presentes num jantar tomam chá ou café. Treze convidados bebem café, dez bebem chá e 4 bebem chá e café. Quantas pessoas tem nesse jantar?

  • (A) 19
  • (B) 27
  • (C) 23
  • (D) 15
  • (E) 10

Resolução

O problema é bem simples. Primeiro, vamos calcular quantas pessoas bebem apenas café e quantas bebem apenas chá

  • Pessoas que bebem apenas café: $13 - 4 = 9$;
  • Pessoas que bebem apenas chá: $10 - 4 = 6$.

Fizemos isso porque dentro do conjunto de pessoas que bebem café existem também pessoas que bebem chá. Por outro lado, dentro do conjunto de pessoas que bebem chá também existem pessoas que bebem café. Observe o diagrama a seguir

Diagrama de Venn

Agora, basta somar o número de pessoas que só tomam chá, o número de pessoas que só tomam café e o número de pessoas que tomam chá e café:

$$9+6+4=19$$

Portanto, a alternativa correta é a A.

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Questão 07

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ derivável. Se existem $a,b\in\mathbb{R}$ tal que $f(a)f(b)<0$ e $f'(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b)$, podemos afirmar que no intervalo $(a,b)$ a equação $f(x)=0$ tem

  • (A) duas raízes reais
  • (B) nenhuma raiz real
  • (C) uma única raiz real
  • (D) uma raiz imaginária
  • (E) somente raízes imaginárias

Resolução

Como $f$ é derivável em $\mathbb{R}$, então também é contínua em $\mathbb{R}$. A expressão$f(a).f(b)<0$ indica que há inversão de sinal em $(a,b)$ e, como $f$ é contínua, deve haver pelo menos uma raiz real no intervalo $(a,b)$.

Por sua vez, a expressão $f'(x)\neq 0$ indica que não há pontos extremos (máximos ou mínimos) em $(a,b)$, portanto apenas uma raiz real é possível em $(a,b)$. Graficamente, teríamos algo do tipo

Gráfico ilustrando a questão
O gráfico de cima representa o caso f(a)>0 e f(b)<0. O gráfico de baixo é representa o caso f(a)<0 e f(b)>0

Portanto, a alternativa correta é a C.

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Questão 08

Seja $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ contínua e $f(x)=g(x)-x$. Definimos a sequência $(x_n)$ da seguinte maneira

$$\begin{cases}x_0=1\\x_n=g(x_{n-1})\quad\text{para }n\geq 1\end{cases}$$

Se $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=L$ podemos afirmar que

  • (A) $L$ é uma raiz e $f(x)=0$
  • (B) $L$ é uma raiz e $g(x)=0$
  • (C) $g(L)=1$
  • (D) $f(L)=L$
  • (E) nenhuma das anteriores

Resolução

Primeiramente, substituímos $x$ por $x_n$ em $f(x)$

$$f(x_n)=g(x_n)-x_n$$

Agora tomamos o limite $n\rightarrow\infty$

$$\begin{align*}\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)&=\lim_{n\rightarrow\infty}[g(x_n)-x_n]\\f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right)&=g\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right)-\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\end{align*}$$

Como $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=L$, então

$$f(L)= g\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right)-L$$

Numa sequência, $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n-1}$. Utilizando essa propriedade na definição da sequência $x_n$, temos

$$\begin{align*}\lim_{n\rightarrow\infty} x_n&=\lim_{n\rightarrow\infty}g(x_{n-1})\\\lim_{n\rightarrow\infty} x_n&= g\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_{n-1}\right)\\\lim_{n\rightarrow\infty} x_n&=g\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right)\\L&= g\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\right)\\\end{align*}$$

Substituindo em $f(L)$, temos

$$f(L)=L-L=0$$

Logo, $L$ é uma raiz de $f(x)$ e a alternativa correta é a A.

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Questão 09

Assinale a proposição verdadeira

  • (A) Se $x$ é um número real tal que $x^2\leq 4$ então $x\leq 2$ e $x\leq -2$
  • (B) Se $x$ e $y$ são números reais tais que $x<y$ então $x^2<y^2$
  • (C) Se $x+y$ é um número racional então $x$ e $y$ são números racionais
  • (D) Se $x<-4$ ou $x>1$ então $\cfrac{2x+3}{x-1}>1$
  • (E) nenhum das anteriores

Resolução

A alternativa A está incorreta, pois o conjunto solução de $x^2\leq 4$ é $[-2,2]$ ou $-2\leq x \leq 2$.

A alternativa B está incorreta. Se tomarmos $x=-3$ e $y = 1$, por exemplo, teremos $-3<1$, que é verdade, mas isso implicaria em $9<1$, que é falso.

A alternativa C está incorreta. Se tomarmos $x=1+\sqrt{2}$ e $x=1-\sqrt{2}$, então $x+y=2$ é um número racional, entretanto $x$ e $y$ são irracionais.

A alternativa D está correta. Para demonstrar isso, vamos resolver a inequação da alternativa

Quando $x-1>0$, então

$$\begin{align*}\frac{2x+3}{x-1}>1\\2x+3>x-1\\x>-4\end{align*}$$

Como $x-1>0$ é equivalente a $x>1$, então a solução será $x>1$ e $x>-4$, ou simplesmente $x>1$.

Quando $x-1<0$, então

$$\begin{align*}\frac{2x+3}{x-1}>1\\2x+3<x-1\\x<-4\end{align*}$$

Como $x-1<0$ é equivalente a $x<1$, então a solução será $x<1$ e $x<-4$, ou simplesmente $x<-4$. A inversão do sentido da desigualdade ocorreu porque multiplicamos ambos os membros da inequação por $x-1$, que é negativo.

Portanto, a solução é $x>1$ ou $x<-4$. Sempre que $x$ satisfizer essas condições, a inequação será verdadeira. Com isso, concluímos a demonstração de que a alternativa D é a correta.

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Questão 10

Assinale o argumento válido, onde S1, S2 indicam premissas e S a conclusão:

  • (A)
    • S1: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corrida
    • S2: O cavalo estava descansado
    • S: O cavalo ganhou a corrida
  • (B)
    • S1: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corrida
    • S2: O cavalo ganhou a corrida
    • S: O cavalo estava descansado
  • (C)
    • S1: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corrida
    • S2: O cavalo perdeu a corrida
    • S: O cavalo estava cansado
  • (D)
    • S1: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corrida
    • S2: O cavalo estava descansado
    • S: O cavalo perdeu a corrida
  • (E) nenhuma das anteriores

Resolução

Observe que a premissa S1 é a mesma em A, B, C e D. Vamos considerar as seguintes proposições

  • p: cavalo cansado
  • q: ganhar a corrida

Com isso, S1 será p→¬q. Para não estender o texto, analisaremos apenas a alternativa B, que é a correta.

Em B, a premissa S2 é q (ganhar a corrida). A conclusão S é ¬p (cavalo descansado). Logo, temos que mostrar que a expressão S1∧S2→S é sempre verdadeira.

S1 ∧ S2 → S = (p → ¬q) ∧ q → ¬p
S1 ∧ S2 → S = (¬p ∨ ¬q) ∧ q → ¬p
S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ q) → ¬p
S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) ∨ FALSO → ¬p
S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) → ¬p
S1 ∧ S2 → S = ¬(¬p ∧ q) ∨ ¬p
S1 ∧ S2 → S = p ∨ ¬q ∨ ¬p
S1 ∧ S2 → S = p ∨ ¬p ∨ ¬q
S1 ∧ S2 → S = VERDADEIRO ∨ ¬q
S1 ∧ S2 → S = VERDADEIRO

Também podemos utilizar uma tabela da verdade:

p q S1 (p → ¬q) S2 (q) S1 ∧ S2 S (¬p) S1 ∧ S2 → S
F F V F F V V
F V V V V V V
V F V F F F V
V V F V F F V

Com isso, concluímos a demonstração de que B é a alternativa correta.

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Questão 12

Dado um vetor $u\in R^2$, $u=(-3,4)$, vamos denotar por $v$ o vetor de $R^2$ que tem tamanho 1 e é ortogonal à $u$. Então $v$ por ser dado por

  • (A) $(−4/5, 3/5)$
  • (B) $(3/5, 4/5)$
  • (C) $(−4/5,−3/5)$
  • (D) $(−4/5, 1/5)$
  • (E) $(−4/5, 2/5)$

Resolução

Suponhamos que $v=(x,y)$. Para que $v$ seja ortogonal a $u$, o produto escalar entre os dois vetores deve ser zero

$$\begin{align*}&v\cdot u=0\\&(x,y)\cdot (-3,4)=0\\&-3x+4y=0\end{align*}$$

A equação anterior possui um conjunto infinito de soluções. Felizmente, a questão quer que $v$ tenha tamanho 1.

$$\begin{align*}\sqrt{x^2+y^2}&=1\\x^2+y^2&=1\end{align*}$$

Isolando $x$ na equação $-3x+4y=0$, temos

$$x=\frac{4}{3}y$$

Consequentemente,

$$\begin{align*}\left(\frac{4}{3}y\right)^2+y^2&=1\\\frac{16}{9}y^2+\frac{9}{9}y^2&=1\\\frac{25}{9}y^2&=1\\y^2&=\frac{9}{25}\\y&=\pm\frac{3}{5}\end{align*}$$

Já a componente $x$ é dada por

$$x=\pm\frac{4}{3}.\frac{3}{5}=\pm\frac{4}{5}$$

Ou seja, existem dois vetores que satisfazem as condições da questão

$$v_1=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right);\quad v_2=\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$$

Portanto, a alternativa correta é a C.

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Questão 13

Sólido

Se $O=(0,0,0)$; $A=(2,4,1)$; $B=(3,1,1)$ e $C=(1,3,5)$ então o volume do sólido acima é

  • (A) 30
  • (B) 35
  • (C) 35/2
  • (D) 44
  • (E) 21

Resolução

O sólido da questão é um paralelepípedo. Podemos calcular o seu volume calculando o módulo do determinante da matriz composta pelos vetores A, B e C, que definem o sólido [1]. Ou seja,

$$V= \left|\det\begin{bmatrix}2 & 4& 1\\3 & 1 & 1\\1 & 3 & 5\end{bmatrix}\right|$$

O determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus (ou pelo teorema de Laplace)

Regras de Sarrus

$$V=|-1-6-60+10+4+9|=|-44|=44$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

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Questão 14

A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equação

$$v(t)=te^{-0.01t}$$

O espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se mover até a sua parada total é

  • (A) $10^4$ m
  • (B) $10^3e^{-0.01}$ m
  • (C) $10^2e^{-1}$ m
  • (D) $(e^{-100}-1)$ m
  • (E) $10^2$ m

Resolução

Analisando a função $v(t)$, vemos que ela se anula quando $t=0$ e quando $t\rightarrow\infty$, que são, respectivamente, o instante de início e o de parada do movimento.

Portanto, o espaço percorrido será

$$S=\int_0^{\infty}v(t)dt=\int_0^{\infty}te^{-0.01t}dt$$

Vamos calcular a integral por partes

$$\begin{align*}&u=t\\&du=dt\\&dv=e^{-0.01t}dt\\&v=\int e^{-0.01t}dt=-100e^{-0.01t}\end{align*}$$

$$\begin{align*}&\int t e^{-0.01t}dt=\\&=-100te^{-0.01t}-\int -100e^{-0.01t}dt\\&=-100te^{-0.01t}-\int -100e^{-0.01t}dt\\&=-100te^{-0.01t}+100\int e^{-0.01t}dt\\&=-100te^{-0.01t}+100\times (-100)e^{-0.01t}\\&=-e^{-0.01t}(100t+10000)\end{align*}$$

Finalmente, calculamos $S$

$$\begin{align*}S&=\left.-e^{-0.01t}(100t+10000)\right|_{0}^{\infty}\\&=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[-e^{-0.01t}(100t+10000)\right]- \left[-e^{-0.01\times 0}(100\times 0+10000)\right]\\&=0+e^{0}\times 10000\\&=10^4\text{m}\end{align*}$$

Logo, a alternativa A é a correta.

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Questão 15

Se $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\ldots+\frac{n-1}{n^2}=L$ então

  • (A) $L=1$
  • (B) $L=0$
  • (C) $L=1/2$
  • (D) $L=\infty$
  • (E) $L=2$

Resolução

Inicialmente, vamos simplificar a expressão entre parênteses

$$\begin{align*}&\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\ldots+\frac{n-1}{n^2}=\\&= \frac{1}{n^2}(1+2+\ldots+n-1)\\&= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n-1} 1\\&=\frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2}\\&=\frac{n^2-n}{2n^2}\\&=\frac{n^2}{2n^2}-\frac{n}{2n^2}\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\end{align*}$$

Tomando o limite $n\rightarrow\infty$, temos

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}=L$$

Portanto, a alternativa C é a correta.

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Questão 17

A média aritmética de uma lista de 50 números é 50. Se dois desses números, 51 e 97, forem suprimidos dessa lista a média dos restantes será

  • (A) 50
  • (B) 49
  • (C) 51
  • (D) 47
  • (E) 40

Resolução

A média aritmética, $m$, de uma lista de números é igual à soma dos números, $S$, dividida pela quantidade de números, $n$

$$m=\frac{S}{n}$$

Para a lista do enunciado, temos

$$50=\frac{S}{50}\Rightarrow S = 2500$$

Se removermos os 51 e o 97 da lista (dois números), a média será

$$\frac{2500-51-97}{50-2}=\frac{2352}{48}=49$$

Portanto, a alternativa correta é a B.

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Questão 18

O determinante da matriz dada abaixo é

$$\begin{bmatrix}2 & 7 & 9 & -1 & 1\\2 & 8 & 3 & 1 & 0\\-1 & 0 & 4 & 3 & 0\\2 & 0 & 0 & -1 & 0\\3 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

  • (A) 96
  • (B) -96
  • (C) 86
  • (D) -86
  • (E) 46

Resolução

Se trocarmos a primeira coluna e a última de posição, o determinante da matriz terá o sinal invertido, porém a matriz se tornará triangular

$$\begin{bmatrix}1 & 7 & 9 & -1 & 2\\0 & 8 & 3 & 1 & 2\\0 & 0 & 4 & 3 & -1\\0 & 0 & 0 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$$

O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Com isso, o determinante será

$$D=-[1\times 8\times 4\times (-1)\times 3]=96$$

O sinal negativo é necessário porque o sinal do determinante foi invertido quando fizemos a troca de colunas.

Portanto, a alternativa correta é a A.

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Questão 19

Numa prova de múltipla escolha com 10 questões e 4 alternativas qual a chance (probabilidade) de um aluno apenas "chutando as respostas" conseguir "gabaritar" a prova (acertar todas as questões).

  • (A) $1/10^4$
  • (B) $1/4^{20}$
  • (C) $1/2^{20}$
  • (D) $1/10^8$
  • (E) $1/4^{15}$

Resolução

A probabilidade de acertar uma questão é de $1/4$. A probabilidade de acertar 10 questões será

$$\begin{align*}P&=\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\\&=\left(\frac{1}{2^2}\right)^{10}\\&= \frac{1}{2^{2\times 10}}\\&=\frac{1}{2^{20}}\end{align*}$$

Na última etapa, foi utilizada a propriedade da potência de potência.

A alternativa correta é a C.

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Outras questões

Deixo aqui o gabarito das questões que não foram resolvidas nesta postagem

  • 06 - E
  • 11 - E
  • 16 - C
  • 20 - C

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Referências

  • [1] DANTE, L. R. Matemática, Volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005.

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